Cara Hitung Determinan Matriks 3×3

Halo Sobat TeknoBgt! Pada kesempatan kali ini kita akan membahas tentang cara menghitung determinan matriks 3×3. Mungkin bagi sebagian dari kalian masih merasa kesulitan dalam menghitung determinan tersebut, namun setelah membaca artikel ini, dijamin akan lebih mudah untuk memahaminya.

Pengertian Determinan Matriks 3×3

Sebelum membahas lebih jauh mengenai cara menghitung determinan matriks 3×3, ada baiknya untuk memahami terlebih dahulu apa itu determinan.

Determinan merupakan salah satu konsep yang penting dalam matematika, terutama dalam aljabar linear. Determinan matriks merupakan suatu bilangan yang diperoleh dari hasil operasi matematika pada elemen-elemen matriks tersebut.

Untuk matriks 3×3, determinan yang dihasilkan adalah suatu bilangan yang menggambarkan ukuran perubahan area atau volume matriks tersebut. Determinan matriks 3×3 dapat dihitung dengan menggunakan beberapa metode, di antaranya adalah dengan menggunakan ekspansi kofaktor dan reduksi baris.

Cara Menghitung Determinan Matriks 3×3 dengan Ekspansi Kofaktor

Metode pertama yang akan kita bahas adalah dengan menggunakan ekspansi kofaktor. Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Tentukan matriks 3×3 yang akan dihitung determinannya

a	b	c
d	e	f
g	h	i

2. Tentukan kofaktor setiap elemen matriks

Kofaktor merupakan bilangan yang diperoleh dari penyelesaian minor elemen matriks tersebut. Misalnya, jika kita ingin mencari kofaktor dari elemen a, maka kita harus mencari minor dari elemen a terlebih dahulu. Untuk mencari minor, kita harus menghilangkan baris dan kolom yang mengandung elemen tersebut.

A	B	C
D	E	F
G	H	I

Untuk mencari minor dari elemen a, kita harus menghilangkan baris dan kolom yang mengandung a. Sehingga kita mendapatkan matriks 2×2 seperti berikut:

E	F
H	I

Setelah itu, kita dapat menghitung determinan dari matriks 2×2 tersebut dengan cara mengalikan elemen-elemen diagonal dan mengurangi hasil kali elemen-elemen antidiagonal. Sehingga determinan dari matriks tersebut adalah:

$$\begin{vmatrix}E & F \\H & I\end{vmatrix} = (E \times I) – (F \times H) = EI – FH$$

Setelah mendapatkan nilai minor dari elemen a, kita dapat menghitung kofaktor a dengan cara mengalikan minor tersebut dengan nilai -1^(i+j), di mana i dan j adalah baris dan kolom dari elemen a tersebut.

$$A_{11} = (-1)^{1+1} \times \begin{vmatrix}E & F \\H & I\end{vmatrix} = EI – FH$$

Caranya sama untuk elemen-elemen lainnya. Sehingga kita mendapatkan kofaktor untuk setiap elemen matriks sebagai berikut:

–	A	B	C
1	A11	A12	A13
2	A21	A22	A23
3	A31	A32	A33

3. Hitung determinan dengan menjumlahkan hasil perkalian setiap elemen matriks dengan kofaktornya

Determinan dari matriks 3×3 dapat dihitung dengan menjumlahkan hasil perkalian setiap elemen matriks dengan kofaktornya. Sehingga rumusnya adalah:

$$\begin{vmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i\end{vmatrix} = (a \times A_{11}) + (b \times A_{12}) + (c \times A_{13}) + (d \times A_{21}) + (e \times A_{22}) + (f \times A_{23}) + (g \times A_{31}) + (h \times A_{32}) + (i \times A_{33})$$

Dengan menggunakan kofaktor yang telah kita hitung sebelumnya, kita dapat menghitung determinan dari matriks 3×3 dengan mudah.

Cara Menghitung Determinan Matriks 3×3 dengan Reduksi Baris

Selain dengan ekspansi kofaktor, kita juga dapat menghitung determinan matriks 3×3 dengan menggunakan metode reduksi baris. Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Tentukan matriks 3×3 yang akan dihitung determinannya

a	b	c
d	e	f
g	h	i

2. Pilih satu kolom dari matriks tersebut

Langkah pertama dalam metode reduksi baris adalah memilih satu kolom dari matriks yang akan kita hitung determinannya. Kolom mana yang dipilih tidak terlalu penting, namun agar lebih mudah, biasanya kita memilih kolom pertama.

3. Lakukan operasi baris sehingga elemen-elemen di luar kolom yang dipilih menjadi nol

Setelah memilih kolom yang akan digunakan, kita lakukan operasi baris pada matriks tersebut sehingga elemen-elemen di luar kolom tersebut menjadi nol. Operasi baris yang digunakan dalam metode ini adalah pengurangan satu baris dengan baris lainnya dengan faktor pengali tertentu.

Contohnya, jika kita ingin membuat elemen a21 menjadi nol, kita dapat mengurangkan baris pertama dengan baris kedua dengan faktor pengali -d/a. Operasi ini akan menghasilkan matriks baru seperti berikut:

a	b	c
0	ae – bd/a	af – bc/a
g	h	i

Lakukan operasi yang sama untuk membuat elemen a31 menjadi nol. Setelah melakukan operasi tersebut, kita akan mendapatkan matriks baru seperti berikut:

a	b	c
0	ae – bd/a	af – bc/a
0	e(ae – bd/a) – f(af – bc/a)/d	f(ae – bd/a) – e(af – bc/a)/d

4. Hitung determinan dari matriks yang telah direduksi baris

Setelah operasi baris selesai dilakukan, kita akan mendapatkan matriks 3×3 baru yang elemen-elemennya lebih sederhana. Untuk menghitung determinan dari matriks tersebut, kita hanya perlu mengalikan elemen-elemen diagonal dan mengurangi hasil kali elemen-elemen antidiagonal. Sehingga rumusnya adalah:

$$\begin{vmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i\end{vmatrix} = a(ei – fh) – b(di – fg) + c(dh – eg)$$

Dengan menggunakan metode reduksi baris, kita dapat menghitung determinan matriks 3×3 dengan lebih mudah dan cepat.

FAQ cara hitung determinan matriks 3×3

Apa itu determinan matriks 3×3?

Determinan matriks 3×3 merupakan suatu bilangan yang menggambarkan ukuran perubahan area atau volume matriks tersebut. Determinan matriks dapat dihitung dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor atau reduksi baris.

Bagaimana cara menghitung determinan matriks 3×3 dengan ekspansi kofaktor?

Langkah-langkah untuk menghitung determinan matriks 3×3 dengan ekspansi kofaktor adalah sebagai berikut:

1. Tentukan matriks 3×3 yang akan dihitung determinannya
2. Tentukan kofaktor setiap elemen matriks
3. Hitung determinan dengan menjumlahkan hasil perkalian setiap elemen matriks dengan kofaktornya

Bagaimana cara menghitung determinan matriks 3×3 dengan reduksi baris?

Langkah-langkah untuk menghitung determinan matriks 3×3 dengan reduksi baris adalah sebagai berikut:

1. Tentukan matriks 3×3 yang akan dihitung determinannya
2. Pilih satu kolom dari matriks tersebut
3. Lakukan operasi baris sehingga elemen-elemen di luar kolom yang dipilih menjadi nol
4. Hitung determinan dari matriks yang telah direduksi baris

Metode mana yang lebih cepat untuk menghitung determinan matriks 3×3, ekspansi kofaktor atau reduksi baris?

Metode reduksi baris dianggap lebih cepat dan mudah dibandingkan dengan metode ekspansi kofaktor. Namun, keduanya sama-sama dapat digunakan untuk menghitung determinan matriks 3×3.

Berapa jumlah kofaktor yang harus dihitung untuk matriks 3×3?

Jumlah kofaktor yang harus dihitung untuk matriks 3×3 adalah 9, yaitu untuk setiap elemen matriks.

Kesimpulan

Demikianlah penjelasan mengenai
cara menghitung determinan matriks 3×3. Ada dua metode yang dapat digunakan, yaitu dengan ekspansi kofaktor dan reduksi baris. Kedua metode tersebut sama-sama berguna dan dapat diaplikasikan sesuai dengan kebutuhan. Semoga artikel ini bermanfaat dan sampai jumpa di artikel menarik lainnya!

Cara Hitung Determinan Matriks 3×3