Cara Menghitung Limit Fungsi

Admin TeknoBgt 16 Februari 2023MENGHITUNG72 Views

Sobat TeknoBgt, apakah Anda sedang mencari cara menghitung limit fungsi? Jika ya, maka artikel ini akan sangat bermanfaat untuk Anda. Dalam artikel ini, kami akan membahas secara lengkap dan terperinci tentang cara menghitung limit fungsi. Selain itu, kami juga akan memberikan beberapa contoh soal dan jawabannya serta FAQ yang dapat membantu Anda memahami konsep mengenai limit fungsi dengan lebih baik.

Daftar Isi tampilkan

Apa Itu Limit Fungsi?

Sebelum membahas tentang cara menghitung limit fungsi, ada baiknya Anda memahami terlebih dahulu apa itu limit fungsi. Secara sederhana, limit fungsi adalah nilai yang didekati oleh suatu fungsi ketika variabel input mendekati suatu nilai tertentu atau mendekati tak hingga. Jika f(x) adalah suatu fungsi, maka limit f(x) ketika x mendekati a (atau mendekati tak hingga) diberikan oleh:

Notasi	Definisi
$\lim_{x\to a}f(x)=L$	Limit f(x) ketika x mendekati a adalah L
$\lim_{x\to\infty}f(x)=L$	Limit f(x) ketika x mendekati tak hingga adalah L

Cara Menghitung Limit Fungsi dengan Rumus

Ada beberapa rumus yang dapat digunakan untuk menghitung limit fungsi, di antaranya:

1. Rumus Ketaksamaan Segitiga

Rumus ini dapat digunakan untuk menghitung limit fungsi jenis pecahan. Misalkan f(x) dan g(x) adalah dua fungsi yang memenuhi syarat:

$\lim_{x\to a}f(x)=0$
$\lim_{x\to a}g(x)=0$
$g(x)\neq0$ untuk semua nilai x di sekitar a

Maka limit dari f(x)/g(x) ketika x mendekati a adalah:

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{|f(x)|}{|g(x)|}$

Contoh:

$\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$ = $\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$ = $\lim_{x\to 1}(x+1)$ = 2

2. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan

Rumus ini dapat digunakan untuk menghitung limit fungsi jenis penjumlahan atau pengurangan. Misalkan f(x) dan g(x) adalah dua fungsi yang memenuhi syarat:

$\lim_{x\to a}f(x)=L$
$\lim_{x\to a}g(x)=M$

Maka limit dari f(x) + g(x) atau f(x) – g(x) ketika x mendekati a adalah:

$\lim_{x\to a}(f(x) \pm g(x))=\lim_{x\to a}f(x) \pm \lim_{x\to a}g(x)=L \pm M$

Contoh:

$\lim_{x\to 3}(2x-1)+(3x -4)$ = $\lim_{x\to 3}(2x-1)+\lim_{x\to 3}(3x-4)$ = 2(3)-1+3(3)-4 = 8

3. Rumus Perkalian

Rumus ini dapat digunakan untuk menghitung limit fungsi jenis perkalian. Misalkan f(x) dan g(x) adalah dua fungsi yang memenuhi syarat:

$\lim_{x\to a}f(x)=L$
$\lim_{x\to a}g(x)=M$

Maka limit dari f(x) x g(x) ketika x mendekati a adalah:

$\lim_{x\to a}(f(x) \cdot g(x))=\lim_{x\to a}f(x) \cdot \lim_{x\to a}g(x)=LM$

Contoh:

$\lim_{x\to 1}(x^2-1)(x-1)$ = $\lim_{x\to 1}(x+1)(x-1)(x-1)$ = 0

4. Rumus Pembagian

Rumus ini dapat digunakan untuk menghitung limit fungsi jenis pembagian. Misalkan f(x) dan g(x) adalah dua fungsi yang memenuhi syarat:

$\lim_{x\to a}f(x)=L$
$\lim_{x\to a}g(x)=M$ (atau $M\neq0$ )

Maka limit dari f(x)/g(x) ketika x mendekati a adalah:

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}=\frac{L}{M}$

Contoh:

$\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$ = $\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}$ = $\lim_{x\to 1}(x+1)$ = 2

Cara Menghitung Limit Fungsi Menggunakan Deret Taylor

Metode ini digunakan untuk menghitung limit fungsi menggunakan deret Taylor. Deret Taylor adalah deret tak hingga yang dihasilkan dari suatu fungsi yang dapat dinyatakan sebagai jumlah dari turunan orde tinggi pada titik tertentu. Untuk menghitung limit fungsi menggunakan deret Taylor, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

Hitung deret Taylor dari fungsi pada titik yang dicari
Substitusikan nilai titik yang dicari ke dalam deret Taylor
Hitung limit dari deret Taylor yang telah disubstitusikan nilai titiknya

Contoh:

Misalkan kita ingin menghitung limit dari $\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}$ . Kita dapat menggunakan deret Taylor dari fungsi sinx pada titik x = 0:

$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$

Substitusikan nilai titik x = 0 ke dalam deret Taylor:

$sin0=0-\frac{0^3}{3!}+ \frac{0^5}{5!}-\frac{0^7}{7!}+...$

Dapat kita lihat bahwa suku-suku deret Taylor setelah suku pertama bernilai 0, sehingga:

$sin0=0$

Sehingga limit dari $\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}$ adalah:

$\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x-\frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...}{x}$ = 1

FAQ tentang Cara Menghitung Limit Fungsi

1. Apa itu limit fungsi?

Limit fungsi adalah nilai yang didekati oleh suatu fungsi ketika variabel input mendekati suatu nilai tertentu atau mendekati tak hingga.

2. Mengapa perlu menghitung limit fungsi?

Menghitung limit fungsi penting karena dapat digunakan untuk menentukan keberadaan asimtotik, mencari nilai maksimum atau minimum, dan membantu dalam menyelesaikan masalah matematika yang kompleks.

3. Apa rumus yang digunakan untuk menghitung limit fungsi?

Terdapat beberapa rumus yang dapat digunakan untuk menghitung limit fungsi, di antaranya rumus ketaksamaan segitiga, rumus penjumlahan dan pengurangan, rumus perkalian, dan rumus pembagian.

4. Kapan metode deret Taylor digunakan untuk menghitung limit fungsi?

Metode deret Taylor digunakan untuk menghitung limit fungsi ketika fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai deret Taylor.

5. Apa manfaat dari memahami konsep limit fungsi?

Memahami konsep limit fungsi dapat membantu dalam memahami konsep-konsep matematika yang lebih kompleks, seperti turunan dan integral. Selain itu, pemahaman tentang limit fungsi juga dapat digunakan dalam ilmu fisika, ekonomi, dan teknik.

Semoga Bermanfaat dan sampai jumpa di artikel menarik lainnya.