Cara Menghitung Matriks Invers

Hello Sobat TeknoBgt! Apa kabar? Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas tentang cara menghitung matriks invers secara lengkap dan mudah dipahami. Matriks invers adalah salah satu konsep dasar dalam matematika linier yang sering digunakan dalam sejumlah bidang seperti fisika, teknik, dan ekonomi. Oleh karena itu, memahami cara menghitung matriks invers menjadi sangat penting bagi setiap orang yang ingin mempelajari matematika linier dengan mendalam.

Pendahuluan

Sebelum kita masuk ke pembahasan cara menghitung matriks invers, ada baiknya kita memahami terlebih dahulu apa itu matriks invers. Matriks invers adalah kebalikan dari suatu matriks. Artinya, jika suatu matriks A dikalikan dengan matriks A^-1, maka hasilnya adalah matriks identitas.

Contohnya, jika:

Maka matriks inversnya (A^-1) adalah:

Sehingga:

Sehingga diperoleh hasil bahwa A x A^-1 = I, dimana I adalah matriks identitas.

Cara Menghitung Matriks Invers

1. Mencari Determinan Matriks

Langkah pertama dalam menghitung matriks invers adalah dengan mencari determinan matriks terlebih dahulu. Determinan matriks adalah bilangan yang diperoleh dari penjumlahan atau pengurangan hasil kali dari elemen-elemen pada baris dan kolom tertentu. Rumus untuk menghitung determinan matriks adalah:

|A| = a₁₁c₂₂b₃₃ + a₁₂c₂₃b₃₁ + a₁₃c₂₁b₃₂ – a₁₃c₂₂b₃₁ – a₁₁c₂₃b₃₂ – a₁₂c₂₁b₃₃

Dimana:

• a_ij adalah elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j
• b_ij adalah kofaktor dari elemen a_ij: (-1)^i+j x M_ij
• c_ij adalah adjoint atau matriks kofaktor dari elemen a_ij: c_ij = M_ij
• M_ij adalah determinan matriks yang dihasilkan setelah menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A

Contohnya, kita akan mencari determinan matriks A berikut:

Maka:

• a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 4, a₂₂ = 5
• M₁₁ = 5, M₁₂ = 4, M₂₁ = 3, M₂₂ = 2
• b₁₁ = M₁₁ = 5, b₁₂ = -M₁₂ = -4, b₂₁ = -M₂₁ = -3, b₂₂ = M₂₂ = 2
• c₁₁ = b₁₁ = 5, c₁₂ = -b₁₂ = 4, c₂₁ = -b21 = 3, c₂₂ = b₂₂ = 2

Sehingga:

|A| = 2 x 2 – 3 x 4 = -2

2. Mencari Kofaktor dan Matriks Kofaktor

Langkah kedua adalah mencari kofaktor dan matriks kofaktor dari matriks A. Kofaktor adalah bilangan yang diperoleh dari determinan matriks yang dihasilkan setelah menghapus baris dan kolom tertentu dari matriks A, yang kemudian dikalikan dengan (-1)^i+j. Sedangkan matriks kofaktor adalah matriks yang terdiri dari kofaktor-kofaktor tersebut.

Rumus untuk menghitung kofaktor dan matriks kofaktor adalah:

b_ij = (-1)^i+j x M_ij

c_ij = b_ji

Contohnya, kita akan mencari kofaktor dan matriks kofaktor dari matriks A berikut:

Maka:

• b₁₁ = -M₁₁ = -5, b₁₂ = M₁₂ = 4, b₂₁ = M₂₁ = 3, b₂₂ = -M₂₂ = -2
• c₁₁ = b₁₁ = -5, c₁₂ = b₂₁ = 3, c₂₁ = b₁₂ = 4, c₂₂ = b₂₂ = -2

Sehingga:

3. Mencari Adjoint

Langkah ketiga adalah mencari adjoint dari matriks B. Adjoint atau transpose kofaktor adalah matriks yang diperoleh dengan memindahkan elemen-elemen matriks kofaktor pada posisi baris menjadi posisi kolom, dan sebaliknya.

Rumus untuk menghitung adjoint adalah:

B^T = (c_ij)^T = c_ji

Contohnya, kita akan mencari adjoint dari matriks B berikut:

Maka:

4. Mencari Invers

Langkah terakhir adalah mencari invers dari matriks A. Invers dihitung dengan membagi adjoint dari matriks B dengan determinan dari matriks A.

Rumus untuk menghitung invers adalah:

A^-1 = B^T/|A|

Contohnya, kita akan mencari invers dari matriks A berikut:

Maka:

• |A| = -2
• B =

• 	-5 4
  	3 -2

• B^T =

• -5 3
  4 -2

Sehingga:

Sehingga:

A x A^-1 =