Model Matematika dari Masalah Program Linear

admin 6 Mei 2023pendidikan66 Views

Program linear merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang optimasi suatu fungsi linear yang terdapat dalam beberapa variabel. Dalam praktiknya, program linear ini sering digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah optimasi, seperti masalah produksi, distribusi, pemilihan investasi, pemilihan portofolio, dan masih banyak lagi. Dalam artikel ini, kita akan membahas mengenai model matematika dari masalah program linear.

Definisi Program Linear

Program linear merupakan suatu model matematika yang mempelajari tentang bagaimana memaksimalkan atau meminimalkan suatu fungsi linear yang terdapat dalam beberapa variabel. Secara umum, program linear dapat didefinisikan sebagai masalah optimasi yang terdiri dari fungsi objektif linear dan beberapa batasan linear.

Model Matematika dari Masalah Program Linear

Model matematika dari masalah program linear dapat dituliskan sebagai berikut:

Maximize atau Minimize: Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn

Subject to:

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2

…

am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤ bm

x1, x2, …, xn ≥ 0

Dalam model matematika di atas, kita memiliki fungsi objektif Z yang ingin dimaksimalkan atau diminimalkan. Fungsi objektif ini terdiri dari beberapa variabel, yaitu x1, x2, …, xn dan konstanta c1, c2, …, cn yang masing-masing merepresentasikan kontribusi dari variabel tersebut terhadap nilai fungsi objektif.

Selain fungsi objektif Z, kita juga memiliki beberapa batasan linear yang harus dipenuhi oleh variabel-variabel tersebut. Batasan ini terdiri dari m bilangan konstan a11, a12, …, amn dan b1, b2, …, bm yang merepresentasikan nilai-nilai batasan untuk setiap variabel.

Contoh Penerapan Model Matematika Program Linear

Untuk memahami lebih lanjut mengenai model matematika dari masalah program linear, berikut ini adalah contoh penerapannya:

Seorang peternak ingin memproduksi dua jenis pakan ternak, yaitu pakan A dan pakan B. Pakan A terdiri dari campuran jagung dan kacang kedelai, sedangkan pakan B terdiri dari campuran jagung, kacang kedelai, dan gandum. Setiap kilogram pakan A memerlukan 2 kilogram jagung dan 1 kilogram kacang kedelai. Setiap kilogram pakan B memerlukan 1 kilogram jagung, 1 kilogram kacang kedelai, dan 1 kilogram gandum.

Peternak memiliki stok jagung sebanyak 200 kilogram, stok kacang kedelai sebanyak 100 kilogram, dan stok gandum sebanyak 150 kilogram. Harga setiap kilogram pakan A adalah Rp 5.000, sedangkan harga setiap kilogram pakan B adalah Rp 6.000. Peternak ingin memaksimalkan keuntungan yang didapat dari produksi pakan ternak.

Dalam hal ini, kita dapat menerapkan model matematika program linear sebagai berikut:

Maximize: Z = 5×1 + 6×2

Subject to:

2×1 + x2 ≤ 200

x1 + x2 + x3 ≤ 100

x2 + x3 ≤ 150

x1, x2, x3 ≥ 0

Dalam model matematika di atas, kita ingin memaksimalkan keuntungan Z yang didapat dari produksi pakan A dan pakan B. Variabel x1 merepresentasikan jumlah kilogram pakan A yang diproduksi, sedangkan variabel x2 dan x3 merepresentasikan jumlah kilogram pakan B yang diproduksi dengan menggunakan bahan baku jagung dan kacang kedelai, serta gandum.

Selain itu, kita juga memiliki batasan-batasan linear yang harus dipenuhi oleh variabel-variabel tersebut, yaitu batasan atas untuk stok jagung, kacang kedelai, dan gandum. Dalam hal ini, batasan tersebut adalah 2×1 + x2 ≤ 200, x1 + x2 + x3 ≤ 100, dan x2 + x3 ≤ 150.

Kesimpulan

Dalam artikel ini, kita telah membahas mengenai model matematika dari masalah program linear. Model matematika ini sangat berguna dalam menyelesaikan berbagai masalah optimasi, seperti masalah produksi, distribusi, pemilihan investasi, pemilihan portofolio, dan masih banyak lagi. Dengan memahami model matematika program linear, kita dapat menyelesaikan berbagai masalah optimasi dengan lebih efisien dan efektif.